O trabalho aprofunda na aplicação de conceitos avançados de álgebra e geometria algébrica para entender algumas tentativas de resolver a chamada Conjectura de Strassen, que consiste em analisar a união de dois sistemas bilineares, cada um deles dependendo de variáveis diferentes, e determinar se a complexidade multiplicativa dessa união é igual à soma das complexidades multiplicativas de ambos os sistemas. Nosso estudo relaciona esses sistemas bilineares e suas complexidades multiplicativas com os espaços de tensores e seus postos, respectivamente.

Restringiremos nosso estudo ao caso de espaços de tensores com três fatores, desenvolvendo os conhecimentos teóricos necessários para apoiar as conclusões atuais e estabelecer novos rumos de pesquisa. É de conhecimento geral que a conjectura não é verdadeira, no entanto, estudaremos alguns casos especiais nos quais a conjectura se verifica, utilizando conceitos e resultados relativos aos espaços projetivos, transformações lineares e suas propriedades.

Frequentemente, utilizamos modelos matemáticos para entender a dinâmica de alguns fenômenos naturais e também para estudar o comportamento de algumas doenças, como por exemplo, a Leucemia Promielocítica Aguda (LPA), que é um subtipo de Leucemia Mieloide Aguda (LMA), em que a medula óssea é incapaz de produzir células sanguíneas normais em quantidade suficiente devido a bloqueios na maturação dessas células. Nesta dissertação se faz a análise global de uma família a dois parâmetros de campo de vetores polinomiais no plano que modela uma simplificação da dinâmica da LPA. Serão analisadas as possíveis bifurcações locais e globais e, utilizando a Compactificação de Poincaré, serão fornecidas as descrições completas das suas dinâmicas no disco de Poincaré.

A Conjectura Jacobiana Real no plano (CJR) afirma que uma aplicação  polinomial do plano no plano com Jacobiano não nulo em todo ponto é invertível. Apesar de sabermos que essa conjectura é falsa, é de grande interesse encontrar condições que garantam a invertibilidade global de difeomorfismos locais, em particular, de aplicações polinomiais no plano. Nesta dissertação, exploramos resultados relacionados à CJR, com ênfase em resultados baseados na Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias. Em particular, exploramos a relação entre injetividade global e equivalência topológica de campos de vetores paralelos.

O principal objeto de estudo deste trabalho são os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos. Serão abordadas propriedades fundamentais desses sistemas, tais como folheações, levantamento e linearização. Além disso, discutiremos como um difeomorfismo parcialmente hiperbólico no toro d-dimensional se relaciona com sua linearização. Com base na tese de doutorado de Andy Hammerlindl, o resultado principal deste trabalho estabelece que, sob hipóteses apropriadas, todo difeomorfismo parcialmente hiperbólico no toros de dimensão igual ou maior que três é conjugado via folhas à sua linearização.

O principal objeto de estudo deste trabalho é a propriedade de continuidade absoluta de folheações invariantes por sistemas dinâmicos. Iniciamos com a construção dinâmica de um exemplo clássico de folheação que não possui essa propriedade. Entre as diversas implicações dinâmicas da continuidade absoluta das folheações estável e instável de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos de classe C2, destacamos a ergodicidade dos difeomorfismos de Anosov conservativos também de classe C2. Por fim, no contexto dos difeomorfismos parcialmente hiperbólicos, investigamos a relação entre os expoentes de Lyapunov centrais e a continuidade absoluta da folheação central, explorando uma generalização do conhecido argumento de Mañé, conforme apresentado no trabalho de Pesin e Hirayama. Deste resulta-se que, em certos contextos do ambiente parcialmente hiperbólico, a propriedade de continuidade absoluta falha genericamente.

O objetivo principal desta dissertação é o estudo do artigo escrito por M. Bremner e Jiaxiong Hu “On
Kruskal’s theorem that every 3 × 3 × 3 array has rank at most 5”, onde o objetivo é mostrar que o
posto de todo tensor 3×3×3 é no máximo 5, um caso previamente estudado por Kruskal. Para chegar a
isso, começaremos com definições e conceitos básicos de álgebra linear e multilinear, continuaremos com
tensores e seu posto, mostrando propriedades necessárias para o desenvolvimento do assunto. Chegaremos
ao estudo específico dos tensores 2×2×2 e um algoritmo para encontrar seu posto, no final estudaremos
os tensores 3×3×2 e 3×3×3 mostrando resultados e exemplos sobre eles para chegar à demonstração
do teorema principal com tudo o que é necessário para entendê-lo.

Nós são equilíbrios de uma equação diferencial ou de um campo de vetores no plano
cujos autovalores têm o mesmo sinal e são estrelados quando os autovalores são iguais e
não nulos. Ciclos limites são órbitas fechadas e isoladas no conjunto de todas as órbitas
fechadas de um campo de vetores. Esta dissertação tem por objetivo estudar condições, as
mais gerais possíveis, de forma a garantir a coexistência de ciclos limites e nós estrelados.
Tal estudo é feito de maneira conveniente: toma-se uma família de equações diferenciais ou
campo de vetores cuja origem é um equilíbrio do tipo nó estrelado e busca condições para
a existência de um ciclo limite ao redor da origem. O estudo é generalizado posteriormente
e alguns resultados contemplam outros tipos de equilíbrios.

Este trabalho tem como objetivo classificar os retratos de fase estruturalmente estáveis exibidos pelos sistemas competitivos Lotka-Volterra tridimensionais, descritos pelo sistema de equações diferenciais:

x_i' = x_i(b_i - ∑(j=1)^3 a_ij x_i), para i = 1, 2, 3,

onde x_1, x_2, e x_3 simbolizam três populações em competição por recursos. Os coeficientes a_ij > 0 representam a competição da espécie j contra a espécie i, e b_i > 0 são as taxas de reprodução de cada espécie. Este estudo se baseia na análise de Mary Lou Zeeman em sua tese de doutorado "Hopf bifurcations in competitive three-dimensional Lotka-Volterra systems" de 1993, e em seus artigos subsequentes.

O ponto de partida do estudo é a análise das posições relativas das isóclinas do sistema. Utilizando um resultado de Morris Hirsch, constata-se que todas as trajetórias do sistema são atraídas para uma superfície bidimensional que contém os equilíbrios. Esta superfície é homeomorfa ao simplexo unitário em R^3, denominada simplexo suporte, Σ. Assim, a dinâmica é restrita a duas dimensões, permitindo a aplicação do Teorema de Poincaré-Bendixson para afirmar que os atratores do sistema serão pontos de equilíbrio ou ciclos limites em Σ.

Através deste método, identificamos 33 classes de equivalência que representam 33 retratos de fase distintos, formando um conjunto aberto e denso no espaço de todos os sistemas Lotka-Volterra tridimensionais. Para obter essas 33 classes, foram empregadas técnicas de combinatória e ação de grupos, além do teorema de Poincaré-Hopf para determinar a existência e a natureza dos pontos de equilíbrio interiores em Σ, e resultados que vinculam a fronteira das bacias de atração dos equilíbrios assintoticamente estáveis com as variedades estáveis de pontos de sela presentes nessa fronteira. Entre as 33 classes encontradas, 25 possuem apenas pontos de equilíbrio como conjuntos limites. Nas 8 classes restantes, em 2 delas, uma generalização do critério de Dulac para sistemas tridimensionais demonstra a inexistência de órbitas periódicas. Nas outras 6 classes, a análise dos autovalores da matriz jacobiana e o Teorema de Bifurcação de Hopf indicam a existência de ciclos limites no interior de Σ. Por fim, o trabalho apresenta um panorama das pesquisas atuais sobre o número máximo de ciclos limites que podem ocorrer em cada uma dessas 6 classes, o qual ainda é desconhecido.

Esta dissertação trata de uma bifurcação local para aplicações suaves no plano, dependendo de um parâmetro real, chamada bifurcação de Neimark-Sacker de codimensão 1, que, em certo sentido, guarda muitas semelhanças com a bifurcação de Hopf para equações diferenciais ordinárias. Em ambas as bifurcações, a mudança na estabilidade de um ponto fixo ou ponto de equilíbrio, junto com uma condição de transversalidade associada com certos autovalores da matriz Jacobiana calculada no ponto, além de uma ou mais condições de não degenerescência, permite o surgimento ou desaparecimento de uma curva fechada invariante pela dinâmica no retrato de fase quando o parâmetro é variado. Este tema foi escolhido devido a sua importância no estudo de sistemas dinâmicos discretos e aplicações em diversas áreas da ciência e, neste sentido, o Teorema da Bifurcação de Neimark-Sacker de codimensão 1 é enunciado e demonstrado no caso planar e empregado no estudo de dois modelos biológicos conhecidos na literatura, a saber, a equação logística com atraso e a equação predador-presa discreta.

O objetivo desta dissertação é estudar a Estabilidade Assintótica Global de campos de vetores. Após a apresentação e o esclarecimento do problema, é feita uma breve revisão de alguns tópicos da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias. O ponto de partida deste trabalho é a conexão da Conjectura de Markus–Yamabe com o tema principal de estudo. Algumas outras classes de campos de vetores Globalmente Assintoticamente Estáveis são estudadas também.

Dada uma variedade projetiva, define-se a variedade h-secante como sendo o fecho da união de todos os espaços gerados por h pontos da variedade projetiva inicial. É dito que uma variedade projetiva é h-defeituosa se sua h-secante não tem a dimensão esperada. O problema central deste trabalho consiste em estudar os defeitos secantes, em especial das variedades de Veronese. Para isso, será apresentado o Teorema de Alexander e Hirschowitz, que classifica quais variedades de Veronese são defeituosas e quais não são defeituosas.

Neste trabalho é apresentado um método de Integrais Abelianas para uma classe de sistemas de equações diferenciais em R^n com n>=2, ou seja, podemos estudar a existência de ciclos limites através dos zeros simples de uma aplicação num aberto de R^n-1. Com esta metodologia, são tratados alguns sistemas de dimensão 3 e 4 e as condições que seus parâmetros devem satisfazer para possuir ciclos limites.

Nesta dissertação estudamos a classificação topológica local das curvas integrais da equação diferencial binária (EDB) a(x, y)dy^2 + 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx^2 = 0 quando os coeficientes não se anulam simultaneamente na origem e quando os coeficientes se anulam simultaneamente na origem e a função discriminante δ = b^2 − ac tem uma singularidade de Morse. Além disso, usamos esta classificação para o entendimento das linhas de curvatura de superfícies em R^3 próximas a um ponto umbílico e o entendimento das configurações topológicas das linhas assintóticas em pontos parabólicos de superfícies em R^4.

Neste trabalho apresentam-se configurações centrais do problema de N-corpos empilhados e empilhados rodados sob o plano localizados nos vértices de n-ágonos. Usando as equações de Andoyer e as raízes da unidade mostram-se exemplos e a prova da existência do caso geral. Serão estudados casos de configurações centrais com subconjuntos de corpos que formam uma configuração central, estas chamadas de empilhadas. Em particular será visto o caso das configurações centrais do tipo coroa, onde os subconjuntos são polígonos.

A Conjectura Jacobiana Real no plano, diz que uma aplicação polinomial do plano no
plano com Jacobiano não nulo é injetora. Sabemos que essa conjectura é falsa em geral.
Mas, é de grande interesse encontrar classes de aplicações que satisfaçam as hipóteses e
tornem essa conjectura verdadeira. Neste trabalho, apresentamos uma maneira de abordar
esse problema utilizando a Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais. Mais especica-
mente, veremos a conexão entre a Conjectura Jacobiana Real no plano e a existência de
um centro global de um campo de vetores Hamiltoniano.

Este trabalho apresenta um estudo sobre a existência de C^0-soluções para uma classe de equações de evolução não lineares sujeitas a condições iniciais não locais da seguinte forma
u'(t)+Au(t) \ni f(t)
f(t) \in F(t, u(t))
u(0)=g(u),
onde A:D(A) \subseteq \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{B} é um operador m-acretivo em um espaço de Banach \mathcal{B} de dimensão infinita, F:[0,2 \pi] \times \overline{D(A)} \rightarrow \mathcal{B} é uma função multívoca não vazia, convexa, quase fortemente fracamente semicontínua superior e com valores fracamente compactos e g:C([0, 2 \pi]; \overline{D(A)}) \rightarrow \overline{D(A)} é uma função contínua.

A cosmologia é uma ciência que agrupa ferramental de várias áreas das ciências exatas, na busca de compreender bem o evento físico chamado de universo. Em sua nuance mais fundamental, a matemática se faz de grande importância, permitindo, por exemplo, a construção de modelos cosmológicos e a compreensão de sua evolução temporal. Neste trabalho abordamos os modelos com anisotropia espacial do tipo Bianchi I, tendo como objetivo analisar o comportamento assintótico da projeção das soluções das equações de Einstein no disco de Kasner em sua forma polar. Encontramos uma grande variedade de comportamentos assintóticos possíveis, para as mais variadas formas de matéria resentes nos modelos para o universo.

Este trabalho apresenta o estudo da teoria abstrata de atratores pullback fracos definidos para
processos multívocos, comparando com o conceito de atrator pullback forte. A invariância e
atração pullback são requeridos para ao menos uma trajetória em cada ponto inicial ao invés de
todas as trajetórias. Posteriormente realiza–se a demonstração de alguns resultados relativos à
teoria.

Nesta dissertação, fornecemos as formas normais e todos os retratos da fase globais no
disco de Poincaré de duas famílias de sistemas: os sistemas planares Kukles reduzidos de
grau 3 com Z 2 -simetria equivariante e as equações diferenciais polinomiais quadráticas de
Abel do segundo tipo com.

Neste trabalho apresentam-se algumas abordagens de configurações centrais do problema de cinco corpos no plano com um triângulo equilátero na disposição dos corpos. Ressaltam-se aspectos importantes como uma caracterização geométrica geral, convexidade, famílias simétricas e uma prova numérica da existência de configurações centrais não simétricas.

Neste trabalho estudaremos as soluções do sistema

,

em que  é um domínio limitado simplesmente conexo,  denota o rotacional do vetor funcional  ) e com . Quando  consideramos  e para  tomamos . No caso   estudamos a extinção em tempo finito das soluções e no caso  o comportamento blow-up das soluções.

Este trabalho tem como principal objetivo o estudo do perfil assimptótico de uma família de minimizadores globais correspondentes ao funcional de energia associado ao problema  em  com condição de Neumann homogênea, onde  tal que   Estudaremos o caso onde a função  não é identicamente nula, mas  em um intervalo fechado . Mostraremos que  é radialmente simétrico e que o mesmo converge uniformemente à 1 e -1 nos subconjuntos compactos , respectivamente. Além disso, estimaremos a energia da camada de transição de  e mostraremos que esta camada é única em  quando . Também provaremos que o ponto de mínimo de  em   terá um papel muito importante na localização desta camada. Por fim, apresentaremos futuros problemas que poderão ser resolvidos com as técnicas que serão estudadas neste trabalho, tais problemas, se resolvidos, consolidarão em resultados inéditos.

Neste trabalho estudamos algumas propriedades da variedade Lorentziana (n + 1)-dimensionalMmunida
da métrica intrinsecamente e espacialmente plana
g = 􀀀e2dt2 + a(t)2
Xn
ij
ijdxidxj ;
onde  : M ! R é uma função suave arbitrária. Como aplicações finais, determinamos o comportamento
das geodésicas próximas a ( ) = (t( ); ~x0), sendo esta uma curva de pontos críticos de , nos casos em
que  constante e @
@t = 0.

A equação de van der Pol não autônoma é um dos primeiros exemplos de sistemas din
âmicos com comportamento caótico e complexo. Foi introduzida por van der Pol e
extensivamente estudada por M. L. Cartwright e J. E. Littlewood os quais foram os
primeiros a mostrar a existência de soluções singulares. Neste trabalho estudamos dois
artigos em conjunto de Cartwright e Littlewood nos quais é demonstrado que existem
órbitas de um certo período e que, devido à existência de uma região atratora, as particularidades
da própria equação permitem esboçar a forma geométrica das soluções. Além
disso, estudamos um trabalho de Levinson no qual, fazendo uma mudança que não altera
substancialmente as soluções, pode-se mostrar que existem soluções singulares para cada
sequência simbólica de dois símbolos.